Logica - IL PENSIERO FUZZY E ALCUNE SUE IMPLICAZIONI.

di Carlo Morabito
Alla base della scienza vi è la logica: il principale assunto del pensiero logico è la dicotomia tra ciò che è vero e ciò che non lo è, che è quindi falso. Alla base dei paradossi della logica vi è lo sconforto dell'antitesi tra vero e falso. Se ci irrigidiamo nell'attribuire a un concetto il valore vero, il nostro orizzonte si popola di oggetti strani che ci affanniamo a nascondere sotto coperte corte. Il risultato finale degli sforzi per far quadrare il cerchio è un concetto probabilistico: riteniamo vera una proposizione se lo è per la maggioranza delle persone. Secondo Bertrand Russell, la logica è la gioventù della matematica come la matematica è la maturità della logica. Quando però la logica invecchia, i contorni sfumano, la verità diventa falsa e il grigio domina, allora il pensiero diventa fuzzy.
Fuzzy è un vocabolo inglese da tradurre con "lanuginoso", "peloso", "indistinto", "vago", che può essere associato alla buccia della pesca e all'uomo delle nevi. Il pensiero fuzzy è perciò venato di concetti e proposizioni apparentemente inconcludenti, appunto, vaghe. Se affermiamo che il nostro amico incontrato pochi attimi fa nell'atrio del palazzo è alto un metro e 80 usiamo il preciso linguaggio della matematica, forse confidando in eccesso delle nostre capacità e, tuttavia, non siamo probabilmente in grado di dire se quell'uomo è alto. Certamente non è basso, ma è veramente alto? Rispetto alla media, lo è. Ma quale media? E' alto a Canicatt", a Verona, lo è ancora a Stoccolma? Forse dovremmo dire che è alto rispetto alla media locale? Possiamo dire che è probabilmente alto? Quanto probabile? Vediamo come esprime questo concetto la teoria classica della probabilità. Prendiamo un campione di 100 individui dello stesso sesso, misuriamo la loro altezza, sommiamo tutte le altezze e dividiamo per la cardinalità del campione (100). Il risultato è l'altezza media misurata sul campione. Ci aspettiamo che questa rappresenti più o meno l'altezza media di tutta la popolazione dello stesso sesso. A questo punto confrontiamo l'altezza del nostro amico con la media del campione e ne tiriamo fuori una misura, la probabilità che il nostro amico sia alto.
In che misura il nostro amico è basso? In una misura che è in un certo senso complementare alla probabilità che sia alto. Qui interviene la logica fuzzy, l'appartenenza a un insieme non esclude l'appartenenza al suo complementare, l'amico è alto e anche basso, e assume l'uno e l'altro valore con una misura che è il grado di appartenenza a quel valore.
Che cos'è dunque la logica fuzzy? Può una logica essere vaga, confusa? Sembrerebbe un trabocchetto, un'insidia filosofica, ma la risposta è affermativa. La corretta traduzione di Fuzzy Logic non lascia spazio a dubbi. Stiamo parlando di qualcosa che affonda le radici negli anni `60, e che ha poi invaso il mondo scientifico alla fine degli anni `80. Il fondatore di questa disciplina è Lotfi Zadeh, americano d'adozione, professore di Ingegneria Elettrica e Teoria dei Sistemi a Berkeley, in California, ma dalle evidenti origini orientali. E' infatti nell' ambito delle religioni e costumi orientali che la logica vaga trae fondamento. Una cultura pervasa da dubbi e meditazioni, lontana un mondo dal rampantismo americano e il rigore che non lascia spazio a dubbi del clima mitteleuropeo. La filosofia orientale, permeata dello yin e dello yang, dalla necessità di dare spazio a più punti di vista o prospettive di un problema, più aperta all'esperienza meditativa, ha facilmente accettato i canoni base del fuzzy e la sua natura intrinsecamente antiaccademica.
La logica fuzzy opera su entità matematiche che sono gli insiemi fuzzy. Questi ultimi obbediscono a regole, strutture e assiomi del tutto simili a quelle dell' insiemistica classica. Soltanto, ed è il punto cruciale della filosofia, un oggetto può contemporaneamente appartenere a più sottoinsiemi. Nella teoria ingenua degli insiemi una cosa è o non è, nel mondo fuzzy l'appartenenza a un sottoinsieme è associata a un grado (degree of membership). Cos" un frutto può essere dolce e anche amaro, una donna bella e brutta, e cos" via.
Tutto ciò può sembrarvi un divertimento matematico assolutamente privo di risvolti pratici. In realtà, l'industria giapponese ha investito migliaia di miliardi in quest'avventura e, oggi, si vendono elettrodomestici, telecamere, macchine fotografiche e quant'altro possa attraversare il vostro pensiero con componenti fuzzy. Giusto per citarvi alcune delle industrie giapponesi che producono elettrodomestici fuzzy, vi ricordo Canon, Fujitsu, Sony, Toshiba, Kawasaki, Sharp, Nissan, NEC, Mitsubishi. Ovviamente l'elenco le include ormai tutte. Ecco cosa ne pensa Katsushige Mita: " La teoria fuzzy si configura come una teoria idonea a rappresentare l'indeterminazione contenuta nel significato di ogni parola. Ci si aspetta che l'intelligenza artificiale fuzzy, come applicazione di questa teoria, giochi un ruolo importante nel futuro instaurarsi di un'intima relazione tra uomini e computer. Essa sembra indispensabile per configurare macchine amichevoli, sistemi capaci di riconoscere il linguaggio parlato, quali robot infermieri e domestici,...".
Vi propongo due esempi di situazioni fuzzy. Pensate di avvicinarvi a un semaforo rosso e di voler allertare il guidatore. Direste: " comincia a frenare 105 metri prima dell'incrocio ", o piuttosto: " tra poco devi frenare" ? Incrociando una Testarossa per strada, apprezzereste probabilmente le sue forme aerodinamiche e la sua velocità dicendo che è un sogno, meno probabilmente che sta viaggiando a 172 Km/h e ha un CX 4.5. Il nostro mondo, il linguaggio umano sono per loro natura imprecisi, quando non incerti, approssimati. Questo tipo di incertezza è la fuzziness.
Il controllo di un veicolo è per esempio basato su insiemi e regole di tipo fuzzy. Una tipica espressione fuzzy potrebbe in tal caso essere: SE il veicolo ha un angolo di assetto troppo grande e SE la velocità è abbastanza alta, ALLORA riduci la velocità. Le variabili fuzzy in gioco sono l'angolo di assetto e la velocità del veicolo. I valori che tali variabili possono assumere (pur nell'ambito di un prescritto intervallo, per esempio 0-100 km/h) sono anch'essi valori fuzzy, cioè: grande, piccolo, elevato. Un certo valore, precisamente definito come una velocità di 55 km/h, diventa una velocità elevata con grado di appartenenza 0.3 e una velocità media con grado 0.6. La tipica espressione fuzzy è quindi generalmente una regola (rule) che combina più variabili di tipo fuzzy in un antecedente e genera un valore di una variabile fuzzy come conseguente.
C'è rumore nel mondo scientifico attorno a questa filosofia, ma la logica interpolativa è veramente utile, consente forti risparmi perchè la precisione costa e genera dei modelli implicitamente più robusti perchè basati su regole. D'altronde, questa disciplina è rigorosamente ancorata a principi di base matematici e ampiamente documentati. Inoltre, l'informazione trattata in questi sistemi è spesso basata sulla qualità, piuttosto che sulla quantità.
Uno dei punti controversi di questa disciplina è la sua supposta equivalenza ai modelli probabilistici. Vediamo quali sono le diversità fra i due approcci.
Un signore con bombetta attraversa la City di Londra: è uno stereotipo che ci accompagna dai primi, lontani, studi di geografia. Quell'uomo è un inglese? Probabilmente si. Cerchiamo di dare una misura oggettiva di questa affermazione, una descrizione operativa della nostra conoscenza del problema. Sulla base di precedenti osservazioni d'immagini, su riviste o libri, siamo in grado di quantificare, per esempio con un numero tra zero e uno la precedente affermazione. La logica tradizionale, a due valori, ci fornirebbe una risposta secca: si o no. Una logica a più valori suddividerebbe l'insieme in più di due sottoinsiemi. L'appartenenza a un sottoinsieme è in ogni caso una proprietà esclusiva: si appartiene oppure no al sottoinsieme dei signori in bombetta che sono anche inglesi. Nel caso della logica fuzzy, l'appartenenza è caratterizzata da un numero. Questo numero è qualcosa di soggettivo: un bimbo (non inglese) di quattro anni considererà il signore in questione soltanto un eccentrico, oppure un personaggio da cartoni animati. Il suo numero sarà diverso dal mio e dal vostro. Senza accorgercene abbiamo discusso di questo problema partendo dalla probabilità e introducendo via via la logica degli insiemi fuzzy. Perchè?
L'esempio più classico di probabilità spicciola che tutti abbiamo in mente è il lancio di una moneta. Il numero di lanci effettuati prima dell'esperimento attuale e il loro esito ci porta a affermare che il prossimo lancio darà come risultato croce con probabilità intorno al 50%, purchè la moneta non sia truccata. Ciò vuol dire informazione praticamente nulla. Questo è l'aspetto strettamente probabilistico del problema. Infatti, l'evento che attendiamo deve ancora verificarsi, il lancio deve ancora essere effettuato. Al contrario, la logica fuzzy descrive un evento che è già accaduto: il signore in bombetta è verosimilmente un inglese, con grado di appartenenza all'insieme INGLESE per esempio di 0.7.
Vediamo la cosa dal punto di vista degli assiomi di probabilità: all'incrocio davanti a noi sta per apparire un signore; sulla base delle precedenti 50 persone che abbiamo incontrato, qual'è la nostra aspettativa di veder comparire un signore in bombetta che sia anche inglese? Un discorso essenzialmente diverso, che non ha praticamente nulla a che vedere con la logica delle possibilità. Altro esempio: qual'è la probabilità di trovare un uovo in un frigorifero? Il frigorifero va ancora aperto. Ma se disegno lo stesso uovo su un foglio di carta, quante possibilità ci sono che quello sia un uovo e non piuttosto un'ellisse disegnata frettolosamente? E ancora, supponiamo di cercare affannosamente un parcheggio per la nostra auto e di scorgere un appetitoso spazio qualche metro avanti a noi, mentre stiamo procedendo nel caos del traffico. La nostra decisione sul tentare il parcheggio o meno va presa rapidamente: il nostro cervello possibilistico attua inferenze sulla base della nostra esperienza soggettiva, che include la valutazione della nostra capacità, della pazienza di chi ci segue, del posizionamento dei veicoli precedenti e seguenti, del nostro stato di stanchezza presente, dell'eventuale presenza in giro di vigili e cos" via. Il risultato di questa inferenza, tutt'altro che vaga, è la decisione: i nostri organi attuatori procederanno subito, con la massima attenzione, ad eseguire il comando.
C'è del probabilistico in questo discorso? Vediamo come ragionerebbe un teorico della probabilità. Dall'analisi di un grosso numero di simili circostanze precedenti, noi stimiamo che la probabilità di parcheggio riuscito è un 35%, stabiliamo una soglia al di sotto della quale non effettueremo il tentativo di parcheggio, quindi operiamo la decisione. Quale dei due approcci preferite? Ma ricordate, nel formulare la vostra opinione, che per la teoria delle probabilità il dualismo parcheggio/non parcheggio è esclusivo, non v'è spazio per il decidere adesso si e no fra un'ora: i confini tra le due categorie sono muri invalicabili. Nel confuso universo fuzzy vi è concesso di riprovare, perchè i due sottoinsiemi si sovrappongono in parte. Come vedete, è una questione che ha seri risvolti etico-filosofici!
Infatti, ci domandiamo se gli enunciati etici sono veri o falsi. L'omicidio è ingiusto? Possiamo derivare questa affermazione alla stregua del Teorema di Pitagora? Possiamo derivarlo da altri asserti morali? Questo argomento merita una discussione a parte, che rinviamo a un prossimo incontro.
Fuzzy è un vocabolo inglese da tradurre con "lanuginoso", "peloso", "indistinto", "vago", che può essere associato alla buccia della pesca e all'uomo delle nevi. Il pensiero fuzzy è perciò venato di concetti e proposizioni apparentemente inconcludenti, appunto, vaghe.
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