di Luigi CAMINITI
Logikè deriva da logos. Ciò che i greci dell'età pre-classica indicavano come logos è essenzialmente espressione. Logikè già allora, dunque, voleva essere uno studio del modo dell'espressione. La logica si presenta al mondo, come la prua di una nave che irrompe nel mare dividendo le onde e procedendo innanzi verso l'infinito, verso la risoluzione delle controversie. Ma, il punto è proprio questo, l'arte del dividere non era forse la dialettica? E la dialettica non era forse autoconclusiva? Non era questo il toro dalle due corna adunche dalle quali sfuggire era impossibile? Non si era già compreso proprio con il progressivo raffinarsi dell'arte dialettica nei feroci scontri tra sapienti che la parola, alla fine, non fa che dire e nominare se stessa?
C'è una maledizione antica sull'Occidente. Una maledizione che periodicamente attraversa la coscienza stessa del nostro essere occidentale; ma al tempo stesso è una sfida e una guerra terribile che non si esaurisce con le stasi di secoli. I greci, prima di cominciare la strada della strutturazione sistematica del pensiero, avevano trovato una traccia importante quando avevano cercato il senso delle cose e lo avevano espresso attraverso il mito. Apollo, il logos, il sole, l'apparenza, la misura, la ragione, la proporzione, la freccia scagliata dall'arco argenteo e che colpisce da lontano: tutto ciò stava da una parte. Dall'altra stava Dioniso, il furore, l'istinto, il bios, il segreto non dato, l'immediatezza della verità che uccide, il lancio di dadi del fanciullo divino, la follia visionaria, il fuoco della sapienza che arde, la luna e il sangue, il vino e la danza. Apollo rimanda coi suoi riflessi dorati al fuoco terribile e distruttivo che si cela dietro l'apparenza plastica e armoniosa del dio; Dioniso rimanda alla impossibilità di governare la visione rivelatrice e quindi alla consapevolezza della differenza tra la sfera mantica, divina e rivelatrice di verità, e quella umana che si nutre di questa ma la cui stessa esistenza da questa è messa in pericolo.
Non una opposizione, dunque, ma una corrente impetuosa che rimbalza da un polo all'altro. Una corrente che è il senso della vita per i greci e che veniva espressa, quando già Apollo si era svelato quasi per intero alle coscienze dei sapienti ormai capaci di astrazioni geometriche, nella perfezione del cerchio. Tutti i percorsi possibili sulla circonferenza portano, in ultima analisi, al punto da cui si è partiti. In questo modo il movimento all'interno del cerchio è sempre, in un certo qual modo, virtuale, infinitesimale. Il movimento verso l'infinito è invece sempre un movimento verso sé stesso. Come la vita. Per i greci ogni gesto rimandava in ultima analisi a sé stesso. Nulla era rettilineo.
Nella celebre prefazione alla seconda edizione della Critica della Ragione Pura, Immanuel Kant afferma che dopo Aristotele non vi sia stato alcun progresso sostanziale nella strutturazione della logica intesa come sistema. Dal punto di vista storico, dobbiamo notare invece come la logica cominci proprio con Aristotele. Se prima non abbiamo infatti nessun trattato che abbia per oggetto la logica (in effetti neanche Aristotele ne parla, anzi la sua indagine è intorno alla analitica, intesa come sistema risolutivo), dopo l'Organon aristotelico molti sono stati i contributi a questa disciplina che nel corso dei secoli da semplice disciplina propedeutica si è avviata a conquistare una indipendenza e una autonomia sempre maggiore, fino ad occupare oggi un ruolo rilevante tra le scienze. E' opportuno cominciare col definire il campo entro il quale la nostra indagine vuole essere significativa. Per logica noi comunemente intendiamo lo studio del modo in cui il nostro pensiero si struttura; lo studio del modo, cioè, in cui è possibile formulare un pensiero in modo coerente. Se ci riferiamo alla logica matematica contemporanea, fondamentale per lo sviluppo della informatica, il cui punto di riferimento è Boole, dobbiamo precisare che essa non sempre esprime il processo di strutturazione del nostro pensiero in maniera esauriente, e non sempre si riesce ad ignorare l'imbarazzo di fronte al quale i logici si trovano nel tentativo di superare ostacoli che sembrano affiorare nel mentre che il sistema considerato diventa più preciso e coerente. Diventa un percorso obbligato a questo punto riassumere, il più concisamente possibile, l'iter attraverso il quale essa è diventata ciò che oggi è. E' generalmente accettato che le prime tracce dello studio della logica stiano già nello sviluppo della dialettica dovuto a Zenone. I celebri paradossi di Achille e la tartaruga o della freccia e del bersaglio, probabili estrapolazioni di agoni dialettici, come rileva Colli, nei quali Zenone aveva difeso le tesi del suo maestro, restano, anche per i logici contemporanei, una sfida il cui esito rimane immutato e che prova come realtà sensibile e pensiero procedano coerentemente in modo indipendente l'uno dall'altra. L'irriducibilità tra piano logico e piano empirico si riproduce, del resto, ogni qualvolta la logica abbia tentato di afferrare in un unico sistema il campo del possibile cedendo alla tentazione di definirlo una volta per tutte. Kurt Gödel ha, in epoca recente, codificato e reso normativo quanto era già intuito dai filosofi dell'età preclassica, e cioè che non si può decidere sulla verità di un sistema intrinsecamente coerente con gli stessi strumenti di quel sistema. Che è quanto sostanzialmente dimostrava già Zenone con i suoi paradossi. La storia della logica appare cos" conchiusa in sé ma le applicazioni rese possibili dal suo sviluppo sono tali e di cos" rilevanza che non si può tacere del contribuito che essa ha apportato alla intera cultura occidentale. Aristotele è stato il primo a scrivere sistematicamente un'opera di logica ma l'approccio aristotelico va nel senso della risoluzione di conflitti verbali che evidentemente lo sviluppo fiorente della dialettica aveva portato alla luce. Aristotele parla, appunto, non di logica ma di analitica, che significa risoluzione. La logica Aristotelica rispondeva a tre principi fondamentali: 1) identità: A=A. 2) non contraddizione: se A=B allora non è Aπ B 3) del terzo escluso o A=B oppure AπB. Su questi tre principi, non mai esplicitati comunque, si fondano poi i sillogismi. Questi sono argomentazioni composte di tre proposizioni, l'ultima delle quali è detta conclusione ed è ricavata dalle prime due, dette premesse. Il modo in cui la conclusione viene ricavata dalle prime due proposizioni è dato dalla posizione, di predicato o di soggetto, in cui si trova un termine, detto termine medio, presente in entrambe le premesse. Aristotele ricava quattro tipi di possibili sillogismi, e cioè quattro tipi di modi per ricavare correttamente una conclusione da premesse ritenute certe. Senza addentrarsi nella Analitica aristotelica è bene precisare che molte sono le critiche che nel corso dei secoli si sono accumulate intorno all'opera di Aristotele ma, al tempo stesso, che per chiunque si sia cimentato col rigore della logica o si appresti a farlo il riferimento ancora oggi resta l'Organon.
Restando al periodo greco non possiamo non menzionare gli sviluppi della logica ad opera della cosiddetta Scuola di Megara.
Ad Eubulide sono attribuiti numerosi paradossi di cui il più noto in una delle sue varianti è "Io sto mentendo". Si deduce che se ciò che dico è vero, allora ciò che dico è falso e, del resto, se ciò che dico è falso allora è vero ciò che dico... all'infinito. Diodoro si preoccupa invece di evitare che da un tipo di implicazione si possa giungere ad affermazioni non stabili. A tale scopo definisce come necessario ciò che è vero e non sarà falso; impossibile ciò che è falso e non sarà vero; possibile ciò che è vero o sarà vero; non-necessario ciò che è falso o sarà falso. Particolare rilevanza assume inoltre nei megarici quello che veniva denominato Argomento principe, nel quale veniva aggredito dal punto di vista logico il concetto di possibilità. Sono poi gli Stoici a dare alla logica un impulso nuovo. L'indipendenza dello sviluppo formale dal suo contenuto, la modalità di sviluppo stesso il più possibile svincolato dal linguaggio naturale fanno infatti della logica stoica una materia ricchissima dove ancora oggi i logici attingono a piene mani. Da menzionare in particolare una classe di argomenti concludenti rappresentata per gli stoici da cinque ragionamenti indimostrabili aventi la funzione di assiomi: 1. Se il primo, allora il secondo; ma il primo; quindi il secondo 2. Se il primo, allora il secondo; ma non il secondo; quindi non il primo 3. Non (il primo e il secondo); ma il primo; quindi non il secondo 4. Il primo o il secondo; ma il primo; quindi non il secondo 5. Il primo o il secondo; ma non il secondo; quindi il primo.
Nella logica medievale, attiva soltanto in un periodo di appena quattro secoli, dal XII al XV, permane la volontà di fondo di derivazione consequenziale da verità date e assolute di matrice aristotelica. Possiamo mettere in evidenza tre periodi con relativi approcci differenti: l' Ars Vetus, centrata sul contenuto delle Categorie e dell'Ermeneia per la quale fondamentale è l'apporto di Abelardo, il cui intento è la liberazione della logica dalle interpretazione metafisiche di derivazione neoplatonica, ma anche la serie di traduzioni e commenti provenienti dal mondo arabo. Segue cronologicamente l'Ars nova, fondata sulla totalità dell'Organon aristotelico,nella quale l'integrazione di nuovi elementi nell'insegnamento tradizionale è caratteristica, e i cui capisaldi sono l'Introductiones in logicam di Guglielmo di Shyreswood e il Summale logicales di Pietro Ispano. Infine all'ultimo periodo appartiene la Logica modernorum il cui obiettivo è quello di svincolare la logica dalle riduzioni filosofico-teologiche operate in particolare da Tommaso D'Aquino e Alberto Magno. Il suo maggiore esponente è Guglielmo di Ockam con la sua Summa logicae. Il periodo rinascimentale risplende invece solo per la celeberrima Logica di Port Royale il cui vangelo è "La logica o l'arte di pensare", del 1622 a cura di A. Arnauld e P. Nicole. A testimonianza della diffusione e del successo che quest'opera riscuote basti dire che se ne faranno 50 edizioni in due secoli. La logica viene qui intesa come arte per pensare meglio, per rendere più sicuro il nostro giudizio. Questi i caratteri essenziali: antiformalismo; uso del linguaggio naturale; uso di esempi concreti; attenzione alla validità delle premesse. Inutile a dirsi, i suoi riferimenti sono Cartesio e Pascal. Un nuovo impulso verrà poi dato in età moderna da Leibenitz, il quale tenta di risolvere le controversie cui si sottopone il linguaggio naturale trasformandolo in una semplice questione di calcolo. Assegna cos" ad ogni parola una cifra in modo tale che ogni proposizione sia sostanzialmente inferibile grazie a un semplice calcolo tra gli oggetti logici semplici di cui è composta. Il tentativo è prematuro e soprattutto troppo ambizioso e naufraga tra gli sconfinati ed inesplorati mondi delle parole, la strada però è tracciata e verrà ripercorsa da Gödel dopo quasi tre secoli con risultati sconvolgenti.
E' ad opera del matematico G. Boole nel secolo XIX che la logica trova nuovi impulsi. Per Boole "la logica come la geometria poggia su verità assiomatiche e i suoi problemi sono costruiti secondo la teoria generale del simbolismo, che costituisce il fondamento di quanto è riconosciuto come analisi". La sillogistica aristotelica diventa riconducibile alla logica delle classi: Tutti gli uomini sono mortali si traduce in: se x = uomini e y = mortali allora x = y, cioè la classe degli uomini non mortali è vuota. E' possibile trasferire in cifre tale logica sostituendo alle lettere i numeri 0 e 1 che sono i soli che soddisfano "la legge degli indici" per la quale l'intersezione di una classe con se stessa deve dare la classe stessa (X . X = X) . Infatti sono i soli numeri che se moltiplicati per se stessi non danno altro che se stessi. Dovendo tacere, per questioni di spazio, dei contributi di Dedekind, Cantor e Peano, per citare solo i più noti, non possiamo fare a meno di accennare al contributo di Gottlöb Frege per il quale la logica è il fondamento della matematica e si fonda su giudizi analitici a priori. L'intento di Frege è quello di operare una riduzione delle nozioni base e degli assiomi dell'aritmetica a concetti e a proposizioni puramente logiche per i quali un concetto è una funzione il cui valore è di verità. Il concetto, più precisamente, per Frege è ciò a cui si riferisce un predicato, mentre un oggetto è ciò a cui si riferisce un soggetto.
Per Frege risulta evidentemente basilare, per evitare le trappole dei paradossi cui il linguaggio si espone, la definizione di numero naturale come la classe di tutti i numeri cardinali raggiungibili a partire da zero con un numero finito di applicazioni dell'operazione di passaggio al successore. Se il sogno di Frege fosse stato coronato da successo avremmo avuto ancora perlomeno l'illusione che la univocità formale fosse possibile e che, insomma dietro l'apparire delle cose, dietro la correttezza della forma potessimo trovare la bellezza e la verità della forma. Ma cos" non è stato. Il sogno fu infatti di breve durata e la doppiezza e il ritorno verso il cerchio segnato dalle antinomie di Russell che (riassumiamo senza pretendere troppo) distrugge cos" il lavoro di Frege: a ogni proprietà - dice Russell - deve corrispondere un insieme i cui elementi rispondono a questa e solo a questa proprietà. Sia X una classe che sia elemento di se stessa. Per esempio, la classe "concetti" è un concetto. Prendiamo in considerazione adesso una classe che non sia elemento di se stessa: "uccelli" . E' facile rilevare come la classe degli uccelli non sia un uccello. Sia adesso K l'insieme delle classi che non sono elemento di se stessa. La conseguenza sorprendente di questo tipo di classe è che se K non appartiene a se stessa allora appartiene a se stessa. E, del resto, se K appartiene a se stessa allora non rientra nell'insieme delle classi che non sono elemento di se stessa. Tradotta in termini di linguaggio naturale abbiamo l'antinomia del barbiere: in un villaggio tutti gli uomini che non sanno radersi da soli si fanno radere dal barbiere. Il Barbiere può radersi da solo?
Dello stesso segno è il paradosso di Grelling che sostituisce agli insiemi degli aggettivi: se definiamo due parole, autologico = autodescrittivo ed eterologico = non-autodescrittivo, e le combiniamo nel modo seguente: "eterologico è autologico?", non siamo in grado di decidere della verità della affermazione ricavandone una antinomia dello stesso tipo di quella di Russell. Lo stesso Russell tentò di uscire fuori dal circolo delle antinomie. Riportiamo qui solo in breve la teoria dei tipi semplici. Questa presuppone che l'universo del discorso sia composto da oggetti di tipo diverso che Russell per convenzione chiama di tipo 0. Gli insiemi di oggetti (individui) di tipo 0 sono di tipo 1. Gli insiemi di oggetti di tipo 1 sono di tipo 2. ... Gli insiemi di oggetti di tipo n-1 sono di tipo n. Da questa regola segue che nessun insieme può contenere se stesso. Per giustificare l'esistenza di infiniti numeri naturali Russell e Witehead devono assumere n=infinito ma nei mondi finiti quest'ultimo assioma crolla. Un tentativo inverso a quello di Frege lo tenta infine David Hilbert. Siamo già a fine secolo, il 1899, quando viene pubblicato il saggio Fondamenti della geometria. Una serie di assiomi determinano la relazione tra i vari termini della geometria. Hilbert si propone di eliminare ogni contraddizione dalla matematica trasformandola, una volta stabiliti con esattezza presupposti assiomatici e inferenziali, in un insieme di puri simboli senza alcun riferimento con il loro significato. La coerenza della matematica deve essere spiegata da una teoria coerente che possa dimostrare la coerenza della matematica. A tal fine viene utilizzata l'aritmetica finitista che è una parte della matematica che si occupa di operazioni finite su oggetti concreti, controllabile con semplici manipolazioni di tipo combinatorio. Prima dell'avvento delle logiche polivalenti che spazzeranno via le certezze sulle quali la logica stessa si era fondata da Aristotele in poi, mettendo in crisi tutti e tre i suoi principi fondamentali, il segno della circolarità e della impossibilità di significare univocamente in un sistema il suo contenuto e il sistema stesso segna l'opera di Kurt Gödel. Riassumere in modo comprensibile le risultanze del lavoro di Gödel è cosa improba ma viene da sé la necessità di tentare almeno di mostrare come appaia immediatamente in superficie un filo unitario che lega il grande libro della logica sulla quale tutta la nostra cultura, il nostro modo di essere si sostiene. Nella sua celebre Memoria del 1931, Gödel fa notare come sia del tutto lecito che un enunciato dell'aritmetica possa enunciare un enunciato dell'aritmetica, anche se stesso. Questo però nel caso di un sistema coerente sufficientemente potente implica un paradosso nel quale viene a naufragare il tentativo di Hilbert ma anche tutte le pretese di poter dare una dimensione di univocità al linguaggio con formalizzazioni di tipo matematico. "Tutte le assiomatizzazioni coerenti dell'aritmetica contengono proposizioni indecidibili" è quanto afferma sinteticamente il primo teorema di Gödel. Per dimostrare questo il grande matematico austriaco dimostra come questo stesso teorema non sia dimostrabile. Si comincia con una numerazione degli enunciati dell'aritmetica che si ottiene assegnando un numero ad ogni simbolo o successione di simboli, operazione che va sotto il nome di gödelizzazione. Gli enunciati della matematica appaiono dunque come stringhe o, più semplicemente, come targhe di automobili e i teoremi come combinazioni numeriche di enunciati. Gödel a questo punto si accorse che la trasposizione del paradosso di Epimenide in aritmetica diventava non "questo enunciato dell'aritmetica è falso" bens" "questo enunciato dell'aritmetica non ammette alcuna dimostrazione"... Per affermare, infatti, la coerenza del sistema si può formulare un teorema nel quale è contenuto tutto il sistema considerato. Ma per dimostrare che quel sistema non sia incoerente con il teorema che ne dimostra la coerenza bisogna ricorrere a un nuovo teorema che comprenda oltre il primo teorema anche il resto del sistema. E cos" via all'infinito. Necessariamente ne derivava (2° teorema di Gödel) che la non contraddittorietà di un sistema assiomatizzabile, coerente e contenente l'aritmetica, non poteva essere dimostrata con dei mezzi formalizzabili nel sistema stesso. W.V.O. Quine, uno dei più grandi logici del nostro tempo, nota come questo corrisponda al paradosso di Eubulide. Infatti possiamo tradurre il teorema di Gödel trasformando "produce una falsità se applicato a se stesso" (che è quanto vale per "io sto mentendo") in "produce un non-teorema se applicato a se stesso". Se l'enunciato è vero allora non può essere un teorema. Del resto, se l'enunciato è falso, allora questa teoria deduttiva comprende un teorema falso screditandosi da sé.
Dopo Gödel restano le logiche modali e polivalenti, le strutture di Kripke per la logica del credere, i tentativi degli ultimi decenni di Montague. Affermatasi la certezza che gli studi delle strutture logiche siano modelli di grande utilità, come le applicazioni tecnologiche degli ultimi decenni dimostrano, si è abbandonata contemporaneamente, sembra in modo definitivo, la traccia che doveva portare verso il mare, capace di dire cosa è vero e cosa è falso una volta per tutte. Il problema della sapienza alla fine ritorna più violento ed elusivo che mai.
Il cerchio ancora una volta, insomma, si è chiuso. A questo punto la visione rettilinea del tempo, intesa come sviluppo in progress, perde totalmente di significato perché la illusione della modernità e della determinazione del senso, sul quale si fonda ciò che pensiamo e il significato che noi diamo a noi stessi e a ogni cosa del mondo, diventa non decidibile, indimostrabile. A meno di non accettare che si tratti soltanto di un gioco, come afferma nello stesso inizio terribile di secolo Wittgenstein. Il mondo si nasconde alla nostra ragione. Al nostro logos. La logikè non è più analitica, risolutiva, come Aristotele avrebbe voluto. E il mondo non va in una direzione. O se davvero una direzione c'è noi non la conosciamo. E il fallimento del metodo è stato il fallimento di una presunzione nella quale sta tutto il pensiero della modernità: la presunzione che la correttezza formale possa porre fine alla millanteria dei ciechi per fede, all'imperscrutabile abisso della nostra ignoranza sul meccanismo che accorre tra ciò che chiamiamo causa e ciò che chiamiamo effetto. Resta la speranza, la voglia, l'intenzione di apprendere ogni giorno dalla vita e di insegnare ogni giorno ciò che dalla vita apprendiamo. Con rigore. Con onestà.
Ma soprattutto con l'umiltà di non credere per fede che a ciò che solo per fede si può credere. La storia della logica è la storia della cronologia di sforzi disperati per affermare la coscienza dell'occidente di essere coscienza universale. Tutto questo nel nostro millennio morente lo abbiamo conosciuto e sperimentato ed è affiorato colmo di piaghe e di crepature fuori dall'oceano ideologico degli -ismi e delle bandiere soltanto adesso. La speranza è quella che la ricerca del senso non tramonti però come il sole, perché non è il sole che tramonta ma siamo noi a girare su noi stessi. La voglia è quella di ricercare ancora, con la passione che deriva dalla consapevolezza della nostra ignoranza, anche nell'eventualità che non ci sia nessuna meta alla fine del percorso, solo per gioco. Come "un divino lancio di dadi" che sappia dire con gioia nietzscheanamente: " ... ancora una volta. Anzi, per sempre!".
