LAUREA HONORIS CAUSA al Prof. Jaime GIL-ALUJA

intervista e lectio magistralis

intervista a cura di Pino Rotta
JAIME GIL-ALUJA è nato a Reus nella regione spagnola di Aragona nel 1936. Un curriculum accademico di grande prestigio quello del Prof. Gil-Aluja, più volte candidato al premio Nobel per l'economia, già membro in Spagna dell'Accademia Reale di scienze economiche e finanziarie, è stato insignito della laurea honoris causa nelle università di Buenos Aires, Sofia, Santiago di Cuba, Vigo, ed ora anche di quella in ingegneria dall'università di Reggio Calabria, per l'applicazione di metodologie proprie dell'intelligenza artificiale nelle scienze economiche.
Ha effettuato i suoi studi, fino alle superiori a Barcellona negli anni '50, in pieno franchismo, successivamente si è tra-sferito in Francia, a Grenoble, dove ha studiato matematica applicata, laureandosi all'università di Barcellona.
Oggi insegna per sei mesi l'anno a Barcellona e per i restanti sei mesi a Parigi.
Lo abbiamo incontrato nell'ambito della cerimonia di conferimento della laurea honoris causa il 7 novembre di quest'anno dall'ateneo reggino. In quell'occasione abbiamo rivolto al professore Aluja, alcune domande inerenti la sua formazione e la sua attività scientifica.
D.: Lei si è formato culturalmente nella Spagna franchista in un clima dove gli schemi filosofici e culturali erano impron-tati su categorie di pensiero rigide e totalizzanti. Quali sono i motivi che hanno spinto il suo interesse verso teorie del tutto diverse, quale il principio dell'indeterminatezza.
R.: E' possibile che come "contrappunto" e in rifiuto della rigidezza abbiamo pensato un modo di concepire la vita sociale economica e di gestione con una flessibilità molto grande. Il tempo poi ci ha dato ragione, nel senso che il mondo è ogni giorno sempre più un mondo di incertezze nel quale le cose non sono strettamente rigide, ma molto flessibili e adattabili e noi abbiamo tentato di formulare teoricamente questo mondo di incertezza cambiando i principi fondamentali della scienza. La scienza si è fondata secondo il principio del "terzo escluso", secondo il quale una proposizione può essere vera o falsa, ma non entrambe le cose simultaneamente. Questa è una successione molto importante. Il "SI-NO" senza possibilità di te-matizzazione.
D.: Rispetto a questa impostazione della scienza ortodossa in cosa differisce la sua teoria della "simultaneità graduale"?
R.: La nostra filosofia si fonda su un nuovo paradigma. Una proposizione può essere vera o falsa allo stesso tempo, finchè il grado viene assegnato alla sua veridicità o alla sua falsità. E a partire da questo si sono sviluppate una logica, una mate-metica, una maniera di pensare e di vivere differenti.
L'uomo non è una parte di una macchina funzionante secondo un'idea geometrica. L'uomo ha la libertà; questa è un'idea darwiniana. E questa è la differenza.
D.: Occorre quindi abbandonare la realtà geometrica della scienza e ripensarla in termini darwiniani? Una vera e propria rivoluzione culturale?
R.: E' necessario mettere in dubbio la scienza attuale, creare un percorso dialettico nella ricerca scientifica. E questo crea certo molti nemici.
D.: Lei torna oggi a Reggio Calabria dopo essere stato qui solo poche settimane addietro come chairman del Simposio In-ternazionale sui Sistemi Intelligenti, coordinato dal prof. Carlo Morabito, come è nata la vostra collaborazione?
R.: E' un'amicizia che si è sviluppata nel corso di incontri avvenuti in diverse parti del mondo, durante il nostro lavoro di ricerca. Insieme abbiamo sperimentato la solitudine di chi cerca la luce nell'oscurità dei nostri tempi.




DISCORSO DI INVESTITURA PER "LAUREA HONORIS CAUSA"
UNIVERSITA' DI REGGIO CALABRIA
7 Novembre 1997

LA SCIENZA ECONOMICA E LA NUOVA TEORIA DELLA DECISIONE

Prof. Dr. Jaime GIL-ALUJA
Università di Barcellona

1. L'Ambiente delle Attività Economiche
Negli ultimi anni di questo secolo la comunità scientifica sta avanzando dei quesiti importanti circa il futuro delle attività umane ed il contesto della società e dei sistemi finanziari ed economici nei quali dobbiamo convivere sui quali sarebbe ora di meditare. Questo è un buon momento, per coloro che condividono lo spirito accademico, di esprimere il loro pensiero ed avanzare nuovi punti di vista sugli argomenti che ci preoccupano.
Comunque, è l'ora, soprattutto di esprimere le nostre opinioni sugli argomenti che riguardano le future generazioni.
Alcuni mesi fa, il 31 Marzo del 1996, per essere precisi, è stato celebrato il IV centenario della nascita di René Descartes. Questo intellettuale ha giocato un ruolo molto incisivo nello sviluppo della scienza. Il suo interesse nelle procedure della matematica portarono molti dei suoi seguaci a pensare che il metodo cartesiano fosse stato ispirato dalla matematica. Essi attribuirono un valore molto elevato alla sua applicabilità universale, dato che il motivo è lo stesso malgrado l'oggetto al quale viene applicato.
Ciò nonostante, non tutte le applicazioni sono della stessa natura, dato che la conoscenza scientifica, che troppe volte ha spiegato l'Universo nel quale vorremmo vivere, sta diventando consapevole che dovrebbe capire e trattare con l'Universo nel quale veramente viviamo. Per raggiungere questo obiettivo, tuttavia sarà necessario porre fine alla conoscenza "sacra" di alcune regole, che descrivono un mondo stabile. Inoltre, si dovrebbe creare una nuova razionalità basata sulla instabilità che porta incertezza, quantunque trasgressiva questa regola possa essere ci implica di pensare di nuovo alle scienze ed alla filosofia. Infine, è necessario trovare un linguaggio che ci permetta di rispondere a quesiti importanti che vengono avanzati.
Non è possibile dimenticare che per diversi secoli la scienza occidentale è stata basata su un idea che è in sé stessa originale - l'idea delle leggi della natura. Secondo questa idea la natura è obbligata a seguire delle leggi particolari che portano a strutture basate sulla certezza. Queste leggi non distinguono fra passato e futuro, essa è quindi una visione infinita dell'Universo. (Si può già vedere) E' già evidente pure nelle leggi di Newton, ed inoltre le rivoluzioni che sono state considerate più pertinenti nel XX secolo confermano questa visione: "la meccanica dei quantum" e "la relatività". Malgrado ciò, è sempre più evidente che questo approccio è in contraddizione con l'aspetto evolutivo dell'uomo.
Si è constatato infatti che la filosofia di base delle attività scientifiche mette a fuoco gli aspetti descrittivi. Quindi, questa filosofia trascura gli aspetti esplicativi che conducono alla intelligibilità. Le leggi del comportamento, che non si spiegano da sole, sono tratte dalle osservazioni dei fenomeni. In altre parole, ci rassegniamo a confermare l'esistenza di un fenomeno invece di "dare il motivo" dal fenomeno stesso. Forse è Newton stesso che indica questo treno nel descrivere il testo imponente riassunto in una frase hipotesis non fingo che può essere trovato nel glossario esplicativo del terzo libro del suo "Principia". "Non è stato possibile dedurre il motivo per questa proprietà della gravità dei fenomeni ed io non posso immaginare nessuna ipotesi (hipotesis non fingo).
Tutto ciò che non deriva dai fenomeni è un'ipotesi e le ipotesi non si possono accettare nella filosofia sperimentale... In tale filosofia i teoremi sono prodotti dai fenomeni e dopo sono generalizzati attraverso l'induzione. E' sufficiente per la gravità esistere per chiarire in conformità con queste leggi che noi abbiamo stabilito è per spiegare, quindi, i movimenti sia dei corpi celesti che del mare. Noi non possiamo accettare questa filosofia come base della ricerca, che consideriamo un attacco contro la ragione. La scienza viene quindi trattata male dai discorsi pluralistici carenti di collegamenti che li rendono convergenti.
Al contrario, crediamo che la visione Darwiniana dell'evoluzione dell'Universo deve essere realizzata abbandonando l'idea geometrica. E' necessario "spiegare" l'Universo e, concesso che questo universo sia instabile, sorge l'incertezza. Comunque, alcune previsioni possono essere dedotti anche dall'incertezza. La gran maggioranza possono essere espresse dalle possibilità, alcune dalle probabilità pochissime dalla certezza.
Non è leale chiudere i nostri occhi e dire che crediamo nella certezza, anche quando questa certezza non si trova nel nostro mondo. L'incertezza può essere un modo di esprimere le instabilità e in questo modo cercare di capire il ruolo che essi giocano nelle leggi della natura. Con vivo interesse, stiamo cercando di trovare una porta stretta nell'Universo deterministico.
Questo Universo risulta alienato dato che tutto è predeterminato e inciso nel Big Bang. Ci troviamo in un Universo incerto che comunque risponde a certe regole di comportamento: i sistemi incerti. Queste leggi ci permettono di formulare delle legge che in un certo modo è possibile formalizzare.
I sistemi finanziari ed economici, la cui caratteristica è una fitta rete di interconnessioni, ovviamente non eludono le riflessioni. Col passare del tempo è sempre più difficile per le Nazioni, Regioni e Territori uniti geograficamente o politicamente ritenere la loro relativa posizione se non partecipano in modo attivo nel gioco degli interessi supernazionali. Loro giocano il ruolo per il quale sono stati più o meno dotati dalla natura, dai geni o dalla Provvidenza.
Contrariamente al passato, quando gli avvenimenti accadevano lentamente e l'evoluzione avveniva attraverso lunghi periodi nei quali la capacità di affrontare i cambiamenti era completa totale, le attività sociali oggigiorno sono in fermento. I cambiamenti, non solo nei fatti e nei fenomeni, ma anche nel comportamento e nelle idee, sono stati molto importanti soprattutto negli ultimi decenni. In questo contesto ci sembra saggio chiederci come le attività scientifiche possono essere concepite quando il pensiero umano, con un poco di soggettività cerca di trovare l'obiettività fra tanti cambiamenti.
Malgrado ciò, come Françoise Perroux asserì molte volte: "la scienza si sviluppa attraverso le necessità di ogni momento e quindi come risultato, le strutture sociali agiscono e determinano il pensiero economico. Allora non è strano che la stabilità nel progresso della conoscenza economica ha portato alla fioritura di nuove idee. Queste idee, con direzioni molto diverse, cercano di rispondere ai diversi problemi della nostra società.
L'economia può essere la più giovane delle scienze sociali. Nasce con ritardo. Fra il 1880 e il 1914, il pensiero che la circondava all'inizio assunse la matematica meccanica come base assieme all'Equilibrium Generale (Walras, Pareto, Cournot, Edgewort,...). Davanti ad una realtà la cui principale caratteristica era la stabilità nella vita sociale e i rapporti sociali, gruppi di studiosi cercano di formalizzare i processi che accadevano in essa. La meccanica classica di Lagrange è usata e questo fattore fornisce un senso di accuratezza davanti a quello che Perroux chiamò "il lassismo del discorso economico". Tuttavia, come contrappeso, l'uomo viene coinvolto dalle leggi che lo conducono infallibilmente ad un futuro predeterminato. In queste leggi, la matematica del determinismo è stata molto considerata ed anche oggi, sono ancora prestigiose in molte aree le attività scientifiche nell'economia e nel manegement.
Tuttavia, man mano che i cambiamenti importanti avanzavano nella società, cambiamenti sempre più presenti nel campo economico, alcune voci sorgono: è rivendicato un nuovo approccio ai problemi ed è sottolineata l'inadeguatezza della matematica della meccanica per descrivere i complessi rapporti economici.
La situazione attuale, caratterizzata da cambiamenti inaspettati ed improvvisi in direzioni che sono spesso contraddittorie, ci ha portato ad usare le tecniche normalmente usate per trattare con la realtà sociale. Questa realtà è così mutevole che è diventata incerta.

2. Il cambiamento del paradigma nella teoria della decisione

Nel campo delle scienze economiche, l'idea della decisione è uno dei termini più ampiamente usato. I responsabili in questo campo nelle imprese e nelle istituzioni usualmente prendono delle decisioni con una ripercussione finanziaria ed economica. Questa ripercussione non è limitata al momento in cui la decisione viene presa ma in molti casi si estende per diversi anni. Difficoltà nelle previsioni e nella valutazione diventano sempre più difficili dovuto alla recente atmosfera di incertezza. E' evidente che gli "avvenimenti della natura sono incerti, l'ambiente finanziario, economico e sociale delle imprese cambia contestualmente le azioni dell'uomo - dato che l'uomo è libero e dotato di immaginazione - ed anche i rapporti fra gli uomini, perché gli uomini non sono robot - sono delle prime cause di incertezza".
Le nostre preoccupazioni e lavori sono mirati a chiarire ciò, anche quando siamo incapaci di valutare in modo formale o attraverso la probabilità, un comportamento razionale può essere anche ottenuto.
Fattore capaci di una reale ripetizione forse appartengono al campo della natura, fisica, chimica, astronomica ed anche alla biologia. L'uomo introduce, a parte gli avvenimenti incerti della natura, anche quegli avvenimenti che derivano dalla sua libertà, dalla sua forza dell'immaginazione.
Il tentativo di trattare in modo adeguato i problemi economici richiede delle riflessioni sullo studio della evoluzione storica del pensiero scientifico.
Questo pensiero ha favorito diversi tipi di spiegazioni, qualche volta contrapposte. Riguardano la sostituzione di alcune teorie con altre. In questo senso, il dissenso delle posizioni di Popper e Khun non è ancora morto. Senza lo scopo di svolgere una analisi approfondita su questo elemento fondamentale per qualsiasi ricercatore, e senza lo scopo di perdere una posizione, mi sembra opportuno accennare in un momento come questo nel quale la nostra società subisce dei profondi cambiamenti, quella ricerca svolta per vari campi della conoscenza ha accettato una parte essenziale di base dei principi.
Le teorie che hanno reso possibile lo sviluppo delle attività scientifiche sono state tratte da questi principi.
Tuttavia l'evoluzione degli avvenimenti, da una parte e i nuovi approcci di ricerca dall'altra, hanno reso chiara la difficoltà nel dare una risposta giusta a diversi fenomeni che si sono accumulati nell'angolo dell'anomalia. Questi angoli sono diventati talmente grandi che si sono estesi alla maggior parte dei diversi edifici che compongono la conoscenza. Quindi questi processi di accumulo sono diventati indifendibili per coloro che cercano di dare una risposta ai problemi avanzati da diversi gruppi della società.
Insiemi di leggi universalmente accettate nei diversi campi della conoscenza, che sono state le basi dei lavori di ricerca, sono prima messe in dubbio e poi sostituite da altre. Queste nuove leggi hanno portato dei cambiamenti nei processi e quindi i modelli, tecniche ed algoritmi capaci di fornire soluzioni richieste dalla comunità scientifica devono essere formali.
Quindi, dopo la sostituzione di un paradigma per un altro, accade un processo rivoluzionario. Questo processo è l'indice dell'insoddisfazione dei ricercatori per quanto riguarda la "scienza ufficiale ortodossa", che risulta, in alcuni approcci che erano stati che erano stati tenuti in considerazione.
Nel campo dell'economia e del management, ci sono stati dei tentativi di creare degli elementi capaci di raggiungere un giusto trattamento dei fenomeni delle imprese e degli stati, quando essi si conoscono in modo accurato. Crediamo che questi tentativi sono stati parzialmente realizzati. A questo, la teoria dell'errore, la fiducia nella teoria dell'intervallo, la teoria dei numeri fuzzy, la teoria dei fuzzy, sub sets e tutte le generalizzazioni che abbiamo già avanzato sono state usate. Da tutti gli studi che sono stati svolti, nuovi elementi sono apparsi che possono essere posti nei quattro campi della conoscenza: la logica, la matematica, la ricerca operativa, l'economia ed il management. In altre parole, da un punto di vista logico, il "principio centrale escluso" ed anche altri principi controllano la ricerca. Questa ricerca usa questo linguaggio matematico che risulta a quel principio il cui esponente principale (ma non l'unico) è basato sul sistema binario e sulla matematica meccanicistica.
Superare questo principio e sostituirlo con il principio che noi abbiamo chiamato "il principio della simultaneità graduale" ha facilitato l'evoluzione della logica Booleana "singola" a diverse logiche multivalenti, la logica fuzzy essendo fra le prime. Cominciando da queste logiche, la matematica dell'incertezza sviluppa (aritmetica e la matematica fuzzy non numerica) e sembra un nuovo assioma così rigoroso come quello della matematica deterministica e della matematica casistica. Procedendo con questa analisi non è difficile verificare come, cominciando da questa concezione del linguaggio matematico si è sviluppata una metodologia di lavoro.
Questa metodologia si conclude in un insieme di modelli di decisioni con centinaia anche migliaia di varianti.
Questi elementi hanno reso possibile un solido modello teorico idoneo per trattare i problemi della realtà.
Invece del contenuto della ricerca operativa tradizionale con concetti come la affittabilità, economicità, produttività espresse attraverso le funzioni cardinali, le nozioni della relazione, del raggruppamento, assegnazione, ordine, paragone affinità,..., sembrano ora avere un nuovo significato. Questo cambiamento è fondamentale dato che ciò mal dire lo spostamento degli elementi non aritmetici negli studi considerati complementari ad una posizione di privilegio che oggi godono.
Quindi sorge un nuovo paradigma. Il suo puntofermo "il principio della simultaneità principale" è formulato come segue:
UNA PROPOSIZIONE PUO' ESSERE VERA O FALSA ALLO STESSO TEMPO, FINCHE' IL GRADO VIENE ASSEGNATO ALLA SUA VERICITA' O ALLA SUA FALSITA'
Cominciando da questo principio, si può elencare un insieme di proposizioni. Le proposizioni portano alla conclusione che, nella presente posizione della ricerca scientifica, i concetti tradizionali ancora giocano un ruolo importante come supporto per gli sviluppi necessari per il trattamento dei problemi della decisione. Tuttavia, nuovi contratti sono apparti occupando sempre più spazio e rimandando i concetti esistenti ad una posizione secondaria. Possiamo elencare i seguenti concetti:
RELAZIONE, CORRISPONDENZA, RAGGRUPPAMENTO, RASSOMIGLIANZA, SIMILARITA', AFFINITA' ED ORDINE.
Al contrario, tutti i concetti che inevitabilmente richiedono d'essere espressi numericamente (in certezza o incertezza) stanno perdendo campo. Questo è dovuto alle difficoltà nell'esprimerli in modo obiettivo e soggettivo prendendo in considerazione i sempre più incerti contesti in cui appaiono.
Inoltre si può osservare una trasformazione dei modelli tradizionali nel campo dell'incertezza sostituendo numeri certi a numeri certi. Quindi si ottiene una generalizzazione ed inoltre sono più adatti nel trattare la realtà. Tuttavia, questa trasformazione in sé stessa non implica un cambiamento del paradigma. I modelli incerti che si sviluppano secondo i concetti della matematica non numerica sono quelli che significano una vera rottura con i precedenti benché gli elementi degli studi classici sono usati nel loro sviluppo.
Oggi si è confermata l'esistenza della coabitazione dei modelli numerici e non numerici per il trattamento dei problemi finanziari dell'incertezza.

3. Elementi di base dei nuovi modelli economici: le relazioni fuzzy

A questo punto, forse sarebbe bene chiarire come si manifestano gli elementi di base dei modelli economici per trattare l'incertezza. A questo scopo ricorreremo alla matematica combinatoria, il cui aspetto fondamentale costituisce ciò che viene riconosciuto come matematica non numerica. Il suo punto saldo è uno dei più comuni concetti del pensiero: la relazione.
In breve, cercheremo di collegare gli elementi che riteniamo compongono la colonna della nuova teoria della decisione cominciando dal concetto della relazione fuzzy.
Cominciamo dall'esistenza di due insiemi o referenziali E1e E2come:
E1 = {a1, a2, ..., an}
E2 = {b1, b2, ..., bm}
La "corrispondenza" o la "relazione" fra gli elementi di questi due insiemi possono essere rappresentati nei seguenti modi:


L'uso di {0,1} come i valori degli elementi della matrice (non c'è, c'è la corrispondenza) può essere generalizzato sostituendo l'insieme {0,1} per l'intervallo [0,1]. Quindi, otteniamo qualcosa di così importante per il pensiero umano come "le ombre". Se l'insieme E1, include gli elementi che rappresentano le cause ed E2 include quegli elementi che rappresentano gli effetti, il rapporto sarà la casualità. Sarà espressa da una "relazione fuzzy" come:


dove

i = a1, a2, ..., an
j = b1, b2, ..., bm
Malgrado ciò, la relazione fuzzy si limita a collegare due insiemi, dato che è possibile unire le relazioni così che gli elementi di un insieme E2, per esempio, sono i risultati di una delle cause di E1 e le cause che conducono ai risultati inclusi nell'insieme E3, allo stesso tempo. Quindi, quando abbiamo tre insiemi:

E ={a ,a , ....a }
E ={b , b, ...b }
E = {c , c, ...c}
in modo che la relazione fuzzy fra E1 e E2 sono dati dalla matrice fuzzy [R] e le relazioni tra E2 e E3, sono forniti della matrice fuzzy [S]. I rapporti raggruppati della prima e seconda generazione si possono trovare con l'uso della matrice fuzzy [T] che risulta facendo:
[T] = [R] o [S]
Dove o è l'operatore di composizione max-min. L'espressione generale per svolgere questa operazione è:

i = a1, a2, ..., an
j = b1, b2, ..., bm
k = c1, c2, ..., cp
Questi elementi compongono le basi nella teoria degli effetti dimenticati. L'interesse dei modelli e tecniche che risultano da ciò che abbiamo già esposto pe la teoria della decisione non possono essere esclusi.
Molte applicazioni fatte fino al presente sono un buon indice di ciò.
Malgrado ciò, il concetto della relazione ha un significato speciale quando sembra coinvolto nella teoria di un grafico. Matematicamente parlando, un grafico può essere definito cominciando dalla bipartizione di un prodotto degli n insiemi.Così, dati i riferimenti E1 e E2 ... Ez se otteniamo il prodotto:
P = E1 x E2 x ... x Ez.
e troviamo la bipartizione di P:

così che

si può dire che entrambi G e G sono grafici di P.
Se soltanto due insiemi E1 e E2 sono presi in considerazione in modo tale che E1 = E2 = E, il grafico ottenuto dal prodotto P = E x E e un "grafico nel significato di Berge". Questo grafico rifletterà il rapporto fra il referenziale e sé stesso. La rappresentazione di questo tipo di grafico attraverso la forma sagitata e la forma matrice ha dato luce ad uno sviluppo interessante in alcuni rapporti, come la "somiglianza" e la "similarità".
In effetti, quando un grafico fuzzy è riflessivo e simmetrico trattiamo con un grafico della somiglianza. Il seguente grafico espresso con la matrice rappresenta i rapporti della rassomiglianza:


in which:
, i, j = 1, 2, ..., n
mij = 1 , i = j
mij = mji
Attraverso lo sviluppo delle incertezze matematiche, il concetto della rassomiglianza ha acquisito un significato speciale. Soprattutto nei processi di paragone che riguardano i ragruppamenti o le separazioni.
In alcuni casi, comunque, il concetto della rassomiglianza non è utile per raggruppare, come un risultato della non esistenza della proprietà della transitività. In effetti, se abbiamo un gruppo di oggetti astratti o concreti A,B,C e A e B si assomigliano in un certo livello B e C sono anche simili in questo livello essi non devono corrispondere al livello specifico, H e C sono anche simili. Per questo scopo è necessaria la partecipazione della proprietà "transitiva".
Cominciando da questo grafico di rassomiglianza (riflessivo e simmetrico) si possono ottenere i subgrafici transitivi. Questi grafici esprimono "rapporti di similarità" fra alcuni elementi del referenziale - costituendo il più gran gruppo possibile con caratteristiche simili. Questi sono così chiamati sub-relazioni massimali della similarità. Per ottenerli alcuni algoritmi sono stati elaborati quelle di Pichat e di Lafosse-Marin-Kaufmann sono fra di essi. Benché questo fattore non è importante in alcuni casi, deve essere avanzato il problema della formazione dei sub-rapporti dei massimali disuniti della similarità. Quando questa proprietà diventa una esigenza, ricorriamo alla trasformazione del grafico di rassomiglianza fuzzy in un grafico di similarità fuzzy con la chiusura transitiva.. A questo scopo, se cominciamo da un grafico fuzzy simmetrico e riflessivo (relazione della rassomiglianza) G, si deve ottenere un grafico così che considerarle:

così come si trova un termine di unione uguale al primo. Il grafico è la chiusura transitiva di G e ha le proprietà di flessibilità, simmetria e transitività. Quando si ottengono le sub-relazioni massimali di similitudine del grafico G questi si disgiungono.
L'importanza di avere gli elementi teoretici capaci di ottenere raggruppamenti di rassomiglianza o di similarità è fondamentale. Tuttavia, questi elementi non sono sufficienti per risolvere l'ampio raggio di problemi posti dalle realtà economiche ed amministrative. Non si deve dimenticare che il punto di partenza è una matrice quadrata nella quale gli elementi nelle righe coincidono in essenza ed in quantità con gli elementi nelle colonne. Questo è il caso particolare di un caso più generale nel quale le righe e le colonne non coincidono nel numero o nel concetto. Per ottenerlo dobbiamo cominciare da una matrice rettangolare, che non deve necessariamente essere simmetrica e riflessiva. Il grafico di Berge che è il risultato del prodotto ExE darà luogo, nel campo booleano, ad un grafico risultante della bipartizione di E1x E2 nella quale E1 non è uguale a E2. Il punto di partenza è, allora:
E1 = {a1, a2, ..., an}
E2 = {b1, b2, ..., bm}
con una relazione fuzzy [V] come:

Per studiare [V], questa relazione fuzzy viene divisa in tagli per mezzo di un sistema specifico, quello hendecaderiano, per esempio, nel quale a = 0, 0.1, 0.2, ... , 0.9, 1. Un livello chiamato soglia è scelto e risultato una matrice booleana [B]. Questa generalizzazione ha dato origine alla così chiamata "teoria di affinità"

4. Concetti e contenuti delle affinità

La nozione della affinità sorge da uno studio di Kaufmann e Gil Aluia presentato al XI Congresso Europeo sulle Investigazioni operative ed è poi stato incluso ed esteso ad altri studi. Le affinità sono definite come quei raggruppamenti che sono omogenei ed alcuni livelli, che collegano gli elementi di due insiemi di natura diversa, messi in rapporto dall'essenza stessa dei fenomeni che rappresentano.
L'esistenza può essere osservata dai tre aspetti che costituiscono il concetto di affinità. Il primo si riferisce al fatto che l'omogeneità di ogni raggruppamento è collegato ad un livello scelto in tale modo che asseconda i requisiti di ogni caratteristica (elementi di uno degli insiemi) un livello più o meno alto sarà assegnato, che definirà la soglia dalla quale l'omogeneità esiste.
Il secondo sorge dall'esistenza di due insiemi di natura diversa. Il terzo esprime la necessità per gli elementi di ogni insieme d'essere collegato con gli altri da certe leggi, della natura in alcuni casi ed umane in altre.
Lo scopo del raggruppamento, da una parte, e il tipo e la forza della relazione fra gli elementi di un insieme ed un altro, dall'altra determineranno senza dubbio, da alcune proprietà che studieremo, tutti i possibili raggruppamenti. Quando l'obiettivo da raggiungere è stato specificato è imperativo fissare un processo che ci permette di raggiungere i risultati tanto desiderati. Ora indicheremo, ancora una volta una differenza nella nozione della rassomiglianza dove la relazione ha luogo fra gli elementi dello stesso insieme e quindi la loro rappresentazione con le matrici quadrate definite in E x E la nozione dell'affinità permette di mettere in relazione gli elementi di un insieme con gli elementi di un altro, che è rappresentato da matrici rettangolari definiti in E1x E2.
Dalla matrice [B] è possibile trovare le relazioni di affinità a livelli scelti. A questo scopo abbiamo steso un algoritmo che può essere riassunto come segue:
1. Selezione fra E1 x E2, dell'insieme che possiede il minor numero di elementi.
2. Costituzione dell'insieme P(E1), (se E1 è scelta) di tutte le sue parti, cioè l'insieme di potenza.
3. Ottenendo la "relazione a destra" B+, per tutto AÎP (E1), B+ includerà i successori di tutti gli elementi appartenenti ad A.
4. La selezione di tutti gli insiemi non vuoti di B+ vien fatta corrispondere dall'insieme A che possiede il maggior numero di elementi.
5. Le relazioni ottenute formano un lattice Galois che permette la strutturazione perfetta e la disposizione di tutte le possibili affinità.
La funzionalità di questo algoritmo è sostenuta da un determinato numero di proprietà cominciando dal raggruppamento delle analisi, includendo alcuni sviluppi conosciuti come le famiglie di Moore. Andiamo ora a giustificare l'uso degli elementi che compongono il procedimento proposto. Semplificheremo il più possibile i simboli usati, in tal modo che se noi assumiamo E(1) come l'insieme con il minor numero di elementi, tali elementi saranno indicati con le lettere minuscole a,b,c ... y, quindi:
E1= {a, b, ..., r}
mentre per l'altro l'insieme E2 i suoi elementi rappresentati dalle lettere maiuscole A, B, C, ..., S.
Così:
E2 = {A, B, ..., S}
Con questo non vogliamo confondere una esposizione che cerca di facilitare la comprensione dell'algoritmo con indici e super indici.
Prendiamo ora in considerazione il concetto di "insieme di potenza". Dato un insieme finito E1, P(E1) è definito come "insieme di potenza", questo è formato da tutte le possibili combinazioni dei suoi elementi presi 1 a 1, 2 a 2, ... , m a m, nel caso che m sia suo numero cardinale.
Adesso andiamo a definire la famiglia Moore.
Sia essa una famiglia di P(E1), F(E1), which, therefore: F(E1) Ì P(E1)
Se F(E1) conferma:
1. E1 Ì F(E1)
2. L'intersezione di un numero delle parti di P (E1) che appartengono anche a F(E1), also belongs to F(E1). Questo vien scritto:
(AÎF(E1), BÎF(E1)) Þ (AÇBÎF(E1))
quindi F(E1) è una "Moore family".
Andiamo ora a considerare una applicazione funzionale M. Si dice che "Cosing Moore" esiste se sono osservate le proprietà di vastità, di idem-power e isotonicità

. a) Extensiveness
"AÎP (E1) : AÌMA
b) Idempower
"AÎP(E1) : M(MA)=A
c) Isotonicity
"A, BÎP(E1) : (AÌB) Þ (MAÌMB)
La successione si Moore è un'applicazione mediante la quale a un elemento di MA si fa corrispondere tutti i componenti del sottinsieme AÌE1, in modo che:

dove FA(E1) rappresenta il sottinsieme degli elementi di F(E1) e contiene A, e F tutti gli elementi di FA(E1).
Da una relazione fuzzy possiamo costruire una successione di Moore.
Il sottinsieme degli elementi E1 è chiamato "collegamento a destra" B+, in modo che per tutto AÎP(E1), i B+ sono i successori di tutti gli elementi appartenenti ad A. Ciò viene espresso:
"xÎA: B+A={yÎE1 / (x, y)Î[B]}, dove B+Æ=E
Il sottinsieme E1 è chiamato "collegamento a sinistra" B-, così che AÎP(E1), i B- sono i predecessori degli elementi appartenenti ad A. Questo allora sarà:
"xÎA: B-A={yÎE1 / (y, x)Î[B]}, dove B-Æ=E
Dalla definizione dei collegamenti a destra ed a sinistra sorgono le seguenti proprietà:
" x Î A Î P (E1):


Questo di permette di trovare B+ and B- direttamente in maniera visiva con le intersezioni rispettivamente di tutti gli elementi delle righe [B].
Given that B+ and B- proceed from a fuzzy relation [R] the Moore closing P(E1) are obtained in the following manner:
M(1) = B- o B+, M(2) = B+ o B-
in which o is the maxmin composition.

Diamo adesso uno sguardo al significato di B+, e B- in relazione ai processi di raggruppamento. Ottenendo la relazione a destra B+ evidenzia i gruppi che possono essere formati dall'insieme E1 a secondo se essi riuniscono uno o diversi elementi dell'insieme E2.
In questa fase del processo sorge il fatto che un raggruppamento degli elementi dell'insieme E1 possono unire gruppi di elementi che sono diversi da quelli corrispondenti all'insieme E2, quando ciò accade c'è sempre un raggruppamento degli E2 che non include il resto. Quindi è necessario continuare lungo la strada ottenendo B-. La relazione a sinistra B- porta alla luce i raggruppamenti degli elementi di E2, che coincide in uno o diversi degli elementi di E1. Lo stesso fenomeno accade anche in che per lo stesso gruppo di elementi di E2, molti diversi raggruppamenti degli elementi di E1esistono ed anche il fatto che c'è sempre un gruppo di elementi di E1, che include il resto. E' quindi necessario ottenere la successione di Moore usando le corrispondenti maxmin convolutions.
La successsione di Moore M(2)=B+oB- per determinare delle relazioni esistenti fra di loro, con gli elementi dell'insieme di potenza della relazione E2 facendo intervenire gli elemnti dell'insieme di potenza della relazione E1. Questa successione porta alla luce il gruppo più ampio di quelli che formano una parte di tutti gli elementi dell'insieme di potenza della relazione E2. In altre parole, la relazione esistente fra tutti i possibili gruppi degli elementi E2. Questo fa sorgere una certa successione e in questo aspetto è interessante sottolineare l'immagine di qualsiasi elemento dell'insieme potenza di E2 è la più piccola successione che la contiene (la terza elencata proprietà). Contrariamente quando in una successione convergono diversi elementi, ce ne sarà sempre uno che è l'immagine di sé stesso. Il raggruppamento è quindi rappresentato da questa immagine. Ciascuno di questi gruppi implica l'appoggio di uno o diversi elementi di E1, nel senso che gli elementi raggruppati di E2, così in uno o alcuni degli elementi. I due così estremi  e E2 acquisiscono un significato teorico del "non raggruppamento" e tutti gli elementi raggruppati.
La successione di Moore M(1)=B-oB+ evidenzia i legami che esistono tra di loro corrispondente all'insieme potenza della relazione E1 quando gli elementi dell'insieme agiscono come elementi intermediari. Questa successione di Moore evidenzia i raggruppamenti degli elementi di E1 che si possono ottenere prendendo in considerazione gli elementi di E2 in modo che a secondo i quali sono previsti si possono ottenere uno o altri raggruppamenti.
E' di particolare interesse quando si ottengono i gruppi di E1 sapere quali sono gli elementi di E2 che possono essere associati ad ognuno di loro. Anche quando facendo ciò si deve ricorrere alla composizione maxmin, è molto importante poter strutturare la proprietà secondo la quale le risultanti famiglie di Moore B-oB+ e B+oB- costituiscono grate isomorfiche. Infatti le famiglie che risultano dalla successione di Moore hanno lo stesso numero di elementi (posseggono lo stesso cardinale per M(1)e per M(2)). Parimenti, corrispondente a tutti gli elementi di M e uno e l'unico elemento di M(2) al quale corrisponde l'unico elemento di M(1). In questo modo la formazione dei gruppi, gli elementi di E1 sono accompagnati dagli elementi di E2 ai quali si riferiscono.
E qui troviamo una proprietà fondamentale delle affinità: nell'unione adatta delle grate isomorfiche, sarà evidente, passando da un gruppo all'altro, quando gli elementi di uno degli insiemi aumenta, gli elementi dell'altro diminuiscono. Per ottenere una perfetta organizzazione e struttura di questi gruppi siamo dovuti ricorrere all'aiuto di un tipo di grata che unisce alla sua semplicità, un alto grado di eleganza nella sua costruzione. Ci riferiamo alle grate di Galois.
Fra le molte composizioni delle grate c'è una che permette la rappresentazione soltanto in schema grafico, l'isomorfismo delle circonvoluzioni B-oB+ e B+oB-. In breve ciò significa mettere una grata isomorfica su un'altra in modo che si convergono in una. Ad ogni vertice di ogni singola grata sia gli elementi raggruppati di E1 che gli elementi raggruppati E2 come stabilito.
Quindi sorge una proprietà di particolare rilievo:
mentre avviene lo spostamento dal vertice (,E1) al (E2, ) o viceversa,
il numero degli elementi raggruppati in un insieme aumenta e diminuisce nell'altro.
Questo ci permette una visione completa che è inestimabile nel prendere delle decisioni in maniera efficiente e sono espressamente le grate di Galois che posseggono questo requisito.
In effetti, se si prendono in considerazione le due relazioni finite E1 e E2 con il loro corrispondente insieme potenza P(E1) y P(E1) si possono stabilire le seguenti relazioni d'ordine
Primo

"X,X´ÎP(E1), "Y,Y´ÎP(E2):
((X, Y)£(X´, Y´)) Û (XÌX´, YÉY´)
nella quale viene introdotta, da questa relazione d'ordine, il limite superiore o estremo, che sarà rappresentato da (X, Y)D (X´, Y´).
Secondo

"X, X´ÎP(E1), "Y, Y´ÎP(E2):
((X, Y)³(X´, Y´)) Û (XÉX´, YÌY´)

nella quale viene introdotta, da questa relazione d'ordine, il limite inferiore o estremo, che sarà rappresentato da (X, Y)d (X´, Y´).
Parliamo di relazioni opposte o di relazioni complementari.
Se continuiamo a considerare (,E1) come l'estremo superiore della prima relazione e l'interiore nella seconda relazione (E2, ) e l'estremo inferiore nella prima, si possono verificare le seguenti proprietà:
Esprimiamo la prima come segue:
(U, V) = (X, Y) D (X´, Y´) Þ (U É XÈX´ and V É YÇY´)
Ora diamo uno sguardo alla seconda:
(Z, T)=(X, Y) d (X´, Y´) Þ (Z Ì XÇX´ and T É YÈY´)
Queste due proprietà costituiscono la grata di Galois.
Così appaiono alcuni elementi uniti dei due raggruppamenti che conservano la loro omogeneità ai livelli desiderati.
Si ottiene anche la perfetta struttura dei gruppi ottenuti e forse quello che è più importante, l'organizzazione degli elementi maggiori ai minori dell'insieme E1 che sono uniti con un ordine che va dal minore al maggiore dell'insieme E2.
La rappresentazione dei risultati con le grate di Galois ci permette di esprimere in maniera visiva tutte le affinità presenti nel livello specifico. Si deve fare soltanto un passo per ottenere un ordine. La variazione della grata mentre cambia il livello selezionato fa sorgere un ampio raggio di informazioni che sono molto utili nel campo economico delle imprese.
5. Considerazioni finali

Abbiamo accennato in maniera specifica al concetto di ordine perché, in un contesto economico e sociale governato dall'incertezza questo concetto gioca un ruolo di primaria importanza. L'ordinamento degli investimenti, delle risorse finanziarie, ..., è la soglia nel prendere delle decisioni. Quando non è possibile ottenere un "valutato" tavolo degli obiettivi il dover ricorrere ad un "ordine non quantificato" degli obiettivi può essere sufficiente per una decisione razionale.
La teoria grafica fornisce dei modelli interessanti per stabilire la relazione d'ordine. In questo caso con l'eccezione il concetto della "funzione ordinale di un grafico" è importante. In effetti, con l'eccezione dei grafici, "molto collegati" (questi grafici sono rappresentati da matrici con un solo tipo di equivalente che non permette di trovare un ordine fra i suoi vertici) la possibilità di frazionare il grafico non molto collegato in insiemi grafici molto collegati ha portato all'ordine attraverso i vertici e se non , dall'insieme dei vertici che almeno (quelli che compongono ogni tipo di equivalenza o dei sotto grafici molto collegati. Per questo motivo, ricorrere a diversi algoritmi fra i quali indichiamo l'algoritmo di Malgrange.
Si può trovare una funzione ordinale per i tipi di equivalenza e per i vertici. Peer gli ultimi se non ci sono circuiti nel grafico. Per questo ci sono anche alcuni algoritmi. Essi sono validi in entrambi i casi perchè il vertice ed il tipo giocano lo stesso ruolo. Accenniamo agli algoritmi di Kaufmann a Gil Aluja da un lato e a quelli di Demoocrom dall'altro.
La relazione, la separazione, il raggruppamento, la rassomiglianza, la similarità, l'affinità, l'ordine ... e molti altri termini sono dei concetti che appaiono, in questo tentativo svolto dai ricercatori che cercano in altri modi di dare soluzioni ai complessi problemi economici delle ditte e delle soluzioni.
Nelle precedenti pagine abbiamo cercato di avanzare alcune riflessioni sui cambiamenti importanti che appaiono nello studio dei problemi economici delle ditte e delle istituzioni. Crediamo, in modo impercettibile ma continuo che i ricercatori accettino le nuove basi sulle quali le tecniche moderne delle dicisioni sono basate. Tuttavia, si dovrebbe riconoscere che la transizione da una situazione nella quale la comunità scientifica si trovava a suo agio ad una situazione che richiede degli sforzi di adattamento non è facile. Inoltre, intraprendere una strada poco conosciuta implica dei rischi e questo fattore non dovrebbe essere trascurato.
E' facile verificare che non tutti i concetti, metodi e tecniche che sono usate sono nate in maniera spontanea ed all'improvviso. Alcuni sono stati usati anche alcuni decenni fa. Tuttavia, venivano usati in altri contesti e possono essere trovati in alcuni studi che possono essere giustamente considerati classici. Forse l'irruzione della teoria degli insiemi fuzzy ha smosso la sua utilità e li ha resi la parte centrale dei minori movimenti che riguardano la teoria della decisione.
Il lungo letargo delle tecniche operative per lo studio dei problemi finanziari ed economici sembra essersi fermata, grazie all'incorporazione di questi nuovi elementi. La carenza di adeguatezza fra i modelli e la realtà molte volte risultò nella mutilazione della realtà per essere inclusi nei modelli usati per trattarli.
Questa pratica, riportata ripetutamente dagli scienziati che sono alla ricerca di più sincerità negli studi, ha scatenato i tentativi che si stanno cristallizzando in questo profondo cambiamento metodologico e concettuale degli obiettivi.
D'ora in poi, le frustrazioni e le preoccupazioni di tanti ricercatori dei problemi economici sembrano trovare una risposta con l'apparire di una vera trasformazione nei nuovi campi della conoscenza che sono più in accordo con i requisiti del presente e del futuro.
Nonostante ciò, tutto quello che è stato accennato fin qui, non ci deve condurre alla falsa convinzione dell'inutilità dei modelli basati sui paradigmi classici. Inoltre, negli ultimi anni gli sviluppi nelle loro applicazioni hanno migliorato gli studi quantitativi che riguardano il trattamento dei fenomeni della decisione. Quindi, molti modelli sono risultati fortunatamente utili in molti casi. Soltanto quando non è sinceramente possibile considerare gli obiettivi, si deve ricorrere a diversi principi e prestazioni. Tuttavia, nel mondo confuso in cui viviamo, l'incertezza non sembra che rallenti. Sarà facile accettare nuove leggi soltanto esistendo accanto a questa incertezza. Quando la maggior parte della comunità scientifica avrà accettato queste nuove leggi, la nascita di un nuovo paradigma sarà una realtà.

Note

1. Gil Aluja, J.: "La incertidumbre en la economía y gestión de empresas". Proceedings of the IV Congress of the Spanish Association on Technology and Fuzzy Logic. Blanes, 14th September 1994, pp. 9-14.
2. Barre, Raymond: prologue to the work of Kaufmann, A. and Gil Aluja, J. Técnicas operativas de gestion para el tratamiento de la incertidumbre (Operative techniques of management for the treatment of uncertainty). Ed.Hispano Europea; Barcelona, 1987.
3. This ideas have been presented in GIL ALUJA, J.: "Towards a new paradigm of investment selection in uncertainty". Fuzzy Sets and Systems n 84, 1996, pp. 187-197.
4. Popper, Karl: La lógica de la investigación científica (The logic of scientifc research) Ed.Tecnos, Madrid 1971. The first edition of this book dates back to 1934. He inagurates his philosophy of science by formuling his well-known "falsebility theory".
5. Khun, Thomas: La estructura de las revouluciones científicas (The structure of scientific revolutions). Ed. Fondo de Cultura Económica. Madrid, 1981. This book was written in 1962 and it is one of the many books in which the author has approached this subject.
6. Gil Lafuente, A.M.: Fundamentos de análisis financieros (Grounds of financial analysis). Ed. Ariel; Barcelona, 1992.
7. Kaufmann, A. and Gil Aluja, J. : Introducción de la teoría de los subconjuntos borrosos a la gestión de las empresas (Introduction of the fuzzy sub-sets theory to enterprise management ). Ed. Milladoiro. Santiago de Compostela, 1986.
8. Gil Aluja, J.: "Lances y desventuras del nuevo paradigma de la teoría de la decisión". III SIGEF International Congress. 10th-13th November. Buenos Aires, 1996.
9. Gil Aluja, J.: "Lances y desventuras del nuevo paradigma de la teoría de la decisión". III SIGEF International Congress. 10th-13th November 1996.
10. Kaufmann.A. and Gil Aluja, J.: Modelos para la investigacion de efectos olvidados (Models for the investigation of forgotten effects). Ed. Milladoiro. Santiago de Compostela, 1988.
11. Gil Lafuente, A.M.: Fundamentos del análisis financiero (Grounds of financial analysis). Ed. Ariel; Barcelona, 1993. pp. 352-369.
12. Pichat, E.: Algorithm for finding the maximal elements of a finite universal algebra. Inform processing 68 Publ. North Holland, 1969.
13. Kaufmann, A.: Modèles mathématiques pour la stimulation inventive (Mathematical models for the inventive stimulation) Ed. Albin Michel. Paris 1979, p. 62.
14. In order to simplify, we have substitued ma1b1 for m11 and ma1b2 for m12, ...
15. Kaufmann, A. and Gil Aluja, J. : Selection of affinities by means of fuzzy relations and Galois lattices. Minutes of the XI Euro Congress O.R. Aachen 16-19 July, 1991.
16. Kaufmann, A. and Gil Aluja, J. : Técnicas de gestión de empresa. Previsiones, decisiones, estrategias. Ed. Pirámide. Madrid 1992, chapter 10.
17. At this respect one can consult Dubreil, P.: Leçons d´algèbre moderne. Ed. Dunod. Paris 1964, page 177 and following.
18. Malgrange, Y.: Décomposition d´un graphe en sous-graphes fortement connexes maximaux. Cie des Machines Bull. Paris 1967.
19. Kaufmann, A. and Gil Aluja, J.: Grafos neuronales para la economía y gestión de empresas (Neural graphs for economy and enterprise management). Ed. Pirámide. Madrid, 1995; p. 43.
20. Democroom, M. Work presented to the Compagnie des Machines Bull. 1964.
21. Gil Aluja, J.: "Spre o noua paradigma a teoriei deciziei". Discourse of reception to the Romanian Academy. 27the September 1995. Academic Review. October, pp. 20-21.
22. Gil Aluja. J.: "Les approches connexionnistes dans le changement du paradigme de la théorie de la décision". III International Meeting ACSEG. Nantes, 25, October, 1996.


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